Что такое оконная функция в анализе Фурье, какие типы оконных функций существуют?

Что такое оконная функция в анализе Фурье, какие типы оконных функций существуют?


Коротоко: Если вкратце, то смысл таков. Как известно, спектральное разложение проводится не для всего сигнала целиком, а кусками (почему? - ясно: либо мы имеем точный спектр, но не знаем в какой момент времени какая спектральная составляющая возникла, либо наоборот, режем сигнал на отрезки и в каждом отрезке знаем менее точный спектр, но зато имеем представление о том, когда и какое изменение спектра произошло). Спектральный анализ, в теории, предназначен для анализа неприрывных периодических сигналов. При обрезании сигнала, в спектре появляются несуществовавшие в сигнале высокочастотные составляющие. Чтобы бороться с их появлением и прибегают к использованию т.н. оконных функций, изменяющих оригинальный сигнал в каждом анализируемом окне (отрезке).

Более развернуто: Анализ спектра опирается на весьма непростой математический аппарат и детально его объяснить без применения математики вряд ли возможно. Имеются различные методы этого анализа. Для работы со звуком наиболее часто применяются методы, основанные на преобразованиях Фурье (ПФ). БПФ - быстрое преобразование Фурье - модифицированнный алгоритм, преследующий цель значительно уменьшить количество арифметических операций, выполняемых во время ПФ. На английском - "FFT" - "fast Fourier transform".

При открытии звукового файла в редакторе мы видим волновую форму сигнала - по оси Y показаны значения отсчетов, а по оси X - время. При помощи БПФ мы можем перейти к частотной форме: по оси Y мы будем иметь амплитуду, а по оси X - частоту. Вычисления производятся для заданного отрезка сигнала. Для вычислений необходимо задать FFT size - так называемый интервал наблюдения (длина отрезков, на которые "нарезается" анализируемый сигнал) и коэффициент перекрытия (коэффициент наложения анализируемых участков сигнала друг на друга; наиболее употребительные его зачения: 0,5 и 0,75). Перед выполнением преобразования Фурье интервал наблюдения обрабатывается специальной оконной функцией (значения отсчетов в анализируемом окне умножаются на значения оконной функции). Выбор оконной функции влияет на точность полученного спектра. Названия этих функций мы и видим в установках спектроанализатора: прямоугольная, треугольная, Блэкменна, Хэмминга, Бесселя-Кайзера и т. д. Самая простая - прямоугольная. Все ее значения равны 1 . Значения треугольной функции для n=6 следующие: p(0)=0, p(1)=1/3, p(2)=2/3, p(3)=1, p(4)=2/3, p(5)=1/3. Если интервал наблюдения равен 1024, то, соответственно, мы должны брать и оконную функцию для 1024 точек. Другие функции определяются довольно сложными математическими формулами. Выбор наиболее предпочтительной оконной функции требует детального анализа сигнала и в случае обработки звука в основном не требуется. Общеупотребительные оконные функции для этих целей - Блэкменна, Хэмминга и Хэннинга. В конечном счете выбор зависит от поставленной задачи. Если, например, предполагается, что в спектре имеется некоторый тон с большой амплитудой, частоту которого нужно определить, то можно просто сравнить результаты применения разных оконных функций. Острота пика этого тона будет разной и это может помочь более точному определению частоты.

Увеличение интервала наблюдения увеличивает точность и время вычислений. При определении спектра сигнала интервал наблюдений "скользит" от начала промежутка к концу с заданным коэффициентом перекрытия. Если он равен 0,5, а длина интервала наблюдений равна 1024, то в следующем его положении будет 512 "старых" точек и 512 новых.

(ответами послужили два сообщения на форуме WebSound.Ru).